テキスト： 弦とブレーン (3.87): 紫外切断でのループ積分 (3.87)一つ目の式の左辺を計算すると、\begin{align}\int\frac{d^2p}{(2\pi)^2}\frac{1}{p^2 + m^2}&=\int_0^\Lambda\frac{dp}{2\pi}\frac{p}{p^2 + m^2} \\&=\frac{1}{4\pi}\left[\ln(p^2 + m^2)\r…

テキスト： 弦とブレーン (3.82):作用に4次の項がある場合 テーラー展開で近似する。\begin{align}\langle x_i x_j \rangle &= \langle x_i x_j \exp\left(-\frac{1}{4!}C_{klmn}x_k x_l x_m x_n\right)\rangle \\&\simeq \langle x_i x_j \left(1-\frac{1}{…

テキスト： 弦とブレーン (3.78): 相関関数 相関関数の定義が書いていないが、\begin{align}\langle f(x) \rangle &\equiv \frac{\int d^n x e^{-S}f(x)}{\int d^n x e^{-S}} \end{align}である。(3.78)は後で求める生成汎関数Z[J](3.80)を微分した後にJ=0と…

テキスト： 弦とブレーン (3.73):シグマ模型の作用をリーマン正規座標で表す これは(3.69)の微分の部分に、\begin{align}\displaystyle \partial_a X^\mu = \partial_a (x_c^\mu+x_q^\mu) = \partial_a x_q^\mu = \partial_a v^\alpha \frac{\partial x_q^\m…