素粒子物理学博士のメモ

式変形や誤植等を解説

3.2.3 シグマ模型の摂動論 p.41 p.42

テキスト: 弦とブレーン

(3.82):作用に4次の項がある場合

テーラー展開で近似する。
\begin{align}
\langle x_i x_j \rangle &= \langle x_i x_j \exp\left(-\frac{1}{4!}C_{klmn}x_k x_l x_m x_n\right)\rangle \\
&\simeq \langle x_i x_j \left(1-\frac{1}{4!}C_{klmn}x_k x_l x_m x_n\right)\rangle \\
&= D_{ij}-C_{klmn}\left(\frac{1}{2}D_{ik}D_{jl}D_{mn} + \frac{1}{8}D_{ij}D_{kl}D_{mn}\right) \tag{3.82}
\end{align}
係数については、Cklmnが完全対称であるため、klmnの入れ替えで D_{ik}D_{jl}D_{mn}と同じ項が4x3、 D_{ik}D_{jl}D_{mn}と同じ項が4個あることから求まる。

(3.83): プロパゲータ

Fourier展開の式
\begin{align}
v^\mu(\xi) = \int\frac{d^2k}{(2\pi)^2}  v^\mu(k)e^{ik\xi}
\end{align}
を作用(3.73)に代入する。
\begin{align}
S_{free}&=\frac{1}{4\pi\alpha'}\int d^2\xi \partial_a \int\frac{d^2k}{(2\pi)^2} v^\mu (k)e^{ik\xi} \partial_a \int\frac{d^2k'}{(2\pi)^2} v^\nu (k')e^{ik'\xi} G_{\mu\nu}(X)\\
&=\frac{1}{4\pi \alpha'} \int \frac{d^2k}{(2\pi)^2}\frac{d^2k'}{(2\pi)^2} (-k_a k_a')v^\mu (k) v^\nu (k') \int d^2\xi e^{i(k+k')\xi} G_{\mu\nu}\\
&=\frac{1}{4\pi \alpha'} \int \frac{d^2k}{(2\pi)^2}\frac{d^2k'}{(2\pi)^2} k^2 v^\mu (k) v^\nu (k')  (2\pi)^2\delta^2(k+k') G_{\mu\nu} \\
&=\iint dkdk' \frac{1}{2}A_{\mu\nu} v^\mu (k) v^\nu (k') 
\end{align}
ここで
\begin{align}
A_{\mu\nu}(k,k')\equiv \frac{1}{(2\pi)^3 \alpha'} k^2\delta^2(k+k') G_{\mu\nu} \tag{3.83a}
\end{align}
とおいた。こうすると、(3.78)を求めたのと同様(xがv、添え字iが連続変数k)に、平方完成を用いてプロパゲータ(2次の相関関数)が求まる。生成汎関数
\begin{align}
Z[J]&\equiv\langle \exp\left(\int d^2 k v(k)(J)\right) \rangle \\
&=\exp\left(\int d^2k d^2k' \frac{1}{2} D^{\mu\nu}(k,k') J_\mu(k)J_\nu(k')\right)
\end{align}
ただし、Dは
\begin{align}
\int d^2 k'' A_{\mu\nu}(k,k'') D^{\nu\rho}(k'',k') = \delta_\mu^\rho\delta^2(k-k')
\end{align}
 を満たすものと定義する。これに(3.83a)を代入すると
\begin{align}
(左辺) &= \int d^2 k'' \frac{1}{(2\pi)^3 \alpha'} k^2\delta^2(k+k'') G_{\mu\nu} D^{\nu\rho} (k'',k')\\
&= \frac{1}{(2\pi)^3 \alpha'} k^2  G_{\mu\nu} D^{\nu\rho} (-k,k')
\end{align}
なので、
\begin{align}
D^{\mu \nu}(-k,k') &= (2\pi)^2\delta^2(k-k') \frac{2\pi\alpha'}{k^2} G^{\mu\nu} \\
\rightarrow D^{\mu \nu}(k,k') &= (2\pi)^2\delta^2(k+k') \frac{2\pi\alpha'}{k^2} G^{\mu\nu}
\end{align}
となる。生成汎関数微分すれば、
\begin{align}
\langle v^\mu(k) v^\nu(k') \rangle_{free} &= \left(\frac{\delta}{\delta J_\mu(k)}\frac{\delta}{\delta J_\nu(k')} Z[J] \right)_{J=0}\\
&=D^{\mu\nu}(k,k')
\end{align}
と求まる。

 (3.84): 4次の相互作用項

(3.87)の第2項をFourier変換すると得られる。

\begin{align}
S_{4次} &=-\frac{1}{12\pi \alpha'}\int d^2\xi\int\frac{d^2 k_1}{(2\pi)^2}
\frac{d^2 k_2}{(2\pi)^2}\frac{d^2 k_3}{(2\pi)^2}\frac{d^2 k_4}{(2\pi)^2}(ik_1)_a(ik_2)aR_{\mu\lambda\nu\rho}(x_c)v^\mu(k_1) v^\nu(k_2) v^\lambda(k_3) v^\rho(k_4) e^{i\xi(k_1+k_2+k_3+k_4)} \\
&=\frac{1}{12\pi \alpha'}\int\frac{d^2 k_1}{(2\pi)^2}
\frac{d^2 k_2}{(2\pi)^2}\frac{d^2 k_3}{(2\pi)^2}\frac{d^2 k_4}{(2\pi)^2}(2\pi)^2\delta(k_1+k_2+k_3+k_4)k_1\cdot k_2R_{\mu\lambda\nu\rho}(x_c)v^\mu(k_1) v^\nu(k_2) v^\lambda(k_3) v^\rho(k_4) 
\end{align}

(符号がテキストと反転している。?)

(3.85): 相互作用を取り入れた2点関数

(3.83)を導いた時と同じように、(3.84)を(3.81)と比較して、

\begin{align}
C_{ijkl}→C_{\mu\nu\lambda\rho}(k_1,k_2,k_3,k_4) \equiv  \frac{4!}{12\pi \alpha'}(2\pi)^2\delta(k_1+k_2+k_3+k_4)k_1\cdot k_2R_{\mu\lambda\nu\rho}(x_c)
\end{align} 

と表せる。(ただし、Cが完全反対称でない。?)すると、(3.82)式より、

\begin{align}
\langle v^\mu(k) v^\nu(k') \rangle = D^{\mu\nu}(k,k')-\frac{1}{2}\int\frac{d^2 k_1}{(2\pi)^2}
\frac{d^2 k_2}{(2\pi)^2}\frac{d^2 k_3}{(2\pi)^2}\frac{d^2 k_4}{(2\pi)^2} C_{\alpha\beta\lambda\rho}(k_1,k_2,k_3,k_4) D^{\mu\alpha}(k,k_1) D^{\nu \beta}(k',k_2) D^{\lambda\rho}(k_3,k_4)
\end{align}

となる。