3.2.4 紫外発散と繰り込み p.42

テキスト：　弦とブレーン

(3.87): 紫外切断でのループ積分

(3.87)一つ目の式の左辺を計算すると、
\begin{align}
\int\frac{d^2p}{(2\pi)^2}\frac{1}{p^2 + m^2}
&=\int_0^\Lambda\frac{dp}{2\pi}\frac{p}{p^2 + m^2} \\
&=\frac{1}{4\pi}\left[\ln(p^2 + m^2)\right]_0^\Lambda \\
&=\frac{1}{4\pi}\ln\left(\frac{\Lambda^2 + m^2}{m^2}\right) \\
&\sim \frac{1}{2\pi}\ln\frac{\Lambda}{m}
\end{align}
となる。最後の式でを用いた。
(3.87)二つ目の式の左辺を計算すると、
\begin{align}
\int\frac{d^2p}{(2\pi)^2}\frac{p^2}{p^2 + m^2}
&=\int_0^\Lambda\frac{dp}{2\pi}p\left(1-\frac{m^2}{p^2 + m^2}\right) \\
&=\frac{1}{4\pi}\left[p^2-m^2 \ln(p^2 + m^2)\right]_0^\Lambda \\
&=\frac{1}{4\pi}\left(\Lambda^2-m^2\ln\frac{\Lambda^2 + m^2}{m^2}-m^2\right) \\
&\sim \frac{\Lambda^2}{4\pi}
\end{align}
となる。