3.2.3 シグマ模型の摂動論 p.41 p.42
テキスト： 弦とブレーン 
(3.82):作用に4次の項がある場合
テーラー展開で近似する。
\begin{align}
\langle x_i x_j \rangle &= \langle x_i x_j \exp\left(-\frac{1}{4!}C_{klmn}x_k x_l x_m x_n\right)\rangle \\
&\simeq \langle x_i x_j \left(1-\frac{1}{4!}C_{klmn}x_k x_l x_m x_n\right)\rangle \\
&= D_{ij}-C_{klmn}\left(\frac{1}{2}D_{ik}D_{jl}D_{mn} + \frac{1}{8}D_{ij}D_{kl}D_{mn}\right) \tag{3.82}
\end{align}
係数については、Cklmnが完全対称であるため、klmnの入れ替えでと同じ項が4x3、
と同じ項が4個あることから求まる。
(3.83): プロパゲータ
Fourier展開の式
\begin{align}
v^\mu(\xi) = \int\frac{d^2k}{(2\pi)^2} v^\mu(k)e^{ik\xi}
\end{align}
を作用(3.73)に代入する。
\begin{align}
S_{free}&=\frac{1}{4\pi\alpha'}\int d^2\xi \partial_a \int\frac{d^2k}{(2\pi)^2} v^\mu (k)e^{ik\xi} \partial_a \int\frac{d^2k'}{(2\pi)^2} v^\nu (k')e^{ik'\xi} G_{\mu\nu}(X)\\
&=\frac{1}{4\pi \alpha'} \int \frac{d^2k}{(2\pi)^2}\frac{d^2k'}{(2\pi)^2} (-k_a k_a')v^\mu (k) v^\nu (k') \int d^2\xi e^{i(k+k')\xi} G_{\mu\nu}\\
&=\frac{1}{4\pi \alpha'} \int \frac{d^2k}{(2\pi)^2}\frac{d^2k'}{(2\pi)^2} k^2 v^\mu (k) v^\nu (k') (2\pi)^2\delta^2(k+k') G_{\mu\nu} \\
&=\iint dkdk' \frac{1}{2}A_{\mu\nu} v^\mu (k) v^\nu (k')
\end{align}
ここで
\begin{align}
A_{\mu\nu}(k,k')\equiv \frac{1}{(2\pi)^3 \alpha'} k^2\delta^2(k+k') G_{\mu\nu} \tag{3.83a}
\end{align}
とおいた。こうすると、(3.78)を求めたのと同様(xがv、添え字iが連続変数k)に、平方完成を用いてプロパゲータ(2次の相関関数)が求まる。生成汎関数は
\begin{align}
Z[J]&\equiv\langle \exp\left(\int d^2 k v(k)(J)\right) \rangle \\
&=\exp\left(\int d^2k d^2k' \frac{1}{2} D^{\mu\nu}(k,k') J_\mu(k)J_\nu(k')\right)
\end{align}
ただし、Dは
\begin{align}
\int d^2 k'' A_{\mu\nu}(k,k'') D^{\nu\rho}(k'',k') = \delta_\mu^\rho\delta^2(k-k')
\end{align}
を満たすものと定義する。これに(3.83a)を代入すると
\begin{align}
(左辺) &= \int d^2 k'' \frac{1}{(2\pi)^3 \alpha'} k^2\delta^2(k+k'') G_{\mu\nu} D^{\nu\rho} (k'',k')\\
&= \frac{1}{(2\pi)^3 \alpha'} k^2 G_{\mu\nu} D^{\nu\rho} (-k,k')
\end{align}
なので、
\begin{align}
D^{\mu \nu}(-k,k') &= (2\pi)^2\delta^2(k-k') \frac{2\pi\alpha'}{k^2} G^{\mu\nu} \\
\rightarrow D^{\mu \nu}(k,k') &= (2\pi)^2\delta^2(k+k') \frac{2\pi\alpha'}{k^2} G^{\mu\nu}
\end{align}
となる。生成汎関数を微分すれば、
\begin{align}
\langle v^\mu(k) v^\nu(k') \rangle_{free} &= \left(\frac{\delta}{\delta J_\mu(k)}\frac{\delta}{\delta J_\nu(k')} Z[J] \right)_{J=0}\\
&=D^{\mu\nu}(k,k')
\end{align}
と求まる。
(3.84): 4次の相互作用項
(3.87)の第2項をFourier変換すると得られる。
\begin{align}
S_{4次} &=-\frac{1}{12\pi \alpha'}\int d^2\xi\int\frac{d^2 k_1}{(2\pi)^2}
\frac{d^2 k_2}{(2\pi)^2}\frac{d^2 k_3}{(2\pi)^2}\frac{d^2 k_4}{(2\pi)^2}(ik_1)_a(ik_2)aR_{\mu\lambda\nu\rho}(x_c)v^\mu(k_1) v^\nu(k_2) v^\lambda(k_3) v^\rho(k_4) e^{i\xi(k_1+k_2+k_3+k_4)} \\
&=\frac{1}{12\pi \alpha'}\int\frac{d^2 k_1}{(2\pi)^2}
\frac{d^2 k_2}{(2\pi)^2}\frac{d^2 k_3}{(2\pi)^2}\frac{d^2 k_4}{(2\pi)^2}(2\pi)^2\delta(k_1+k_2+k_3+k_4)k_1\cdot k_2R_{\mu\lambda\nu\rho}(x_c)v^\mu(k_1) v^\nu(k_2) v^\lambda(k_3) v^\rho(k_4)
\end{align}
（符号がテキストと反転している。？）
(3.85): 相互作用を取り入れた2点関数
(3.83)を導いた時と同じように、(3.84)を(3.81)と比較して、
\begin{align}
C_{ijkl}→C_{\mu\nu\lambda\rho}(k_1,k_2,k_3,k_4) \equiv \frac{4!}{12\pi \alpha'}(2\pi)^2\delta(k_1+k_2+k_3+k_4)k_1\cdot k_2R_{\mu\lambda\nu\rho}(x_c)
\end{align}
と表せる。（ただし、Cが完全反対称でない。？）すると、(3.82)式より、
\begin{align}
\langle v^\mu(k) v^\nu(k') \rangle = D^{\mu\nu}(k,k')-\frac{1}{2}\int\frac{d^2 k_1}{(2\pi)^2}
\frac{d^2 k_2}{(2\pi)^2}\frac{d^2 k_3}{(2\pi)^2}\frac{d^2 k_4}{(2\pi)^2} C_{\alpha\beta\lambda\rho}(k_1,k_2,k_3,k_4) D^{\mu\alpha}(k,k_1) D^{\nu \beta}(k',k_2) D^{\lambda\rho}(k_3,k_4)
\end{align}
となる。
3.2.3 シグマ模型の摂動論 p.40
テキスト： 弦とブレーン
(3.78): 相関関数
相関関数の定義が書いていないが、
\begin{align}
\langle f(x) \rangle &\equiv \frac{\int d^n x e^{-S}f(x)}{\int d^n x e^{-S}}
\end{align}
である。(3.78)は後で求める生成汎関数Z[J](3.80)を微分した後にJ=0とすれば出る。
\begin{align}
\langle x_i x_j \rangle &= \left[\frac{\partial }{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j} Z[J]\right]_{J=0} \\
&= D_{ij} \tag{3.79}
\end{align}
(3.80):相関関数の生成汎関数
これはxについて平方完成することで求まる。
\begin{align}
Z[J] &\equiv \frac{\int d^n x \exp\left(-\frac{1}{2}A_{ij}x_ix_j+x_i J_i\right)}{\int d^n x e^{-S}} \\
&= \frac{\int d^n x \exp\left(-\frac{1}{2}A_{ij}(x_i - D_{ik} J_k)(x_j - D_{jl} J_l)+\frac{1}{2}D_{ij} J_i J_k \right)}{\int d^n x e^{-S}} \\
&=\exp\left(\frac{1}{2}D_{ij} J_i J_j \right) \tag{3.80}
\end{align}
素粒子を学ぶ本（弦、場、トポロジー）
物理
超弦理論をコンパクトにまとめた本。218ページ。ポルチンスキー等他の本は分厚くて古いので、まずはこれを読みたい。
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弦とブレーン （Yukawaライブラリー 2） [ 京都大学基礎物理学研究所 ]
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場の理論。じっくり通して読みたい。
数学
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理論物理学のための幾何学とトポロジーI [原著第2版] [ 中原幹夫 ]
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群論。素粒子論の理解に必須。物理で必要なことに絞ってある。絶版になっていたので、復刻されて嬉しい。
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同じく群論の本。著者著者は大統一理論で有名。第一版の方がコンパクトで良かったという人もいる。
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物理学におけるリー代数原著第2版 アイソスピンから統一理論へ （物理学叢書） [ ハワード・ジョージアイ ]
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数学側から見た場の理論。
発展的な物理数学の本。ちょっとお高いので図書館で読む感じかも。
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3.2.3 シグマ模型の摂動論 p.39
テキスト： 弦とブレーン
(3.73):シグマ模型の作用をリーマン正規座標で表す
これは(3.69)の微分の部分に、
\begin{align}
\displaystyle \partial_a X^\mu = \partial_a (x_c^\mu+x_q^\mu) = \partial_a x_q^\mu = \partial_a v^\alpha \frac{\partial x_q^\mu}{\partial v^\alpha}
\end{align}
を用い、(3.72)を使えば出る。
(3.75):ガウス積分の公式
まず、定義
\begin{align} I_n &\equiv \int_{-\infty}^\infty dx e^{-\frac{1}{2}ax^2}x^n \tag{3.74} \\ \langle x^n \rangle &\equiv I_n/I_0 \end{align}
より、が奇の場合は被積分関数が奇関数であるから、
。
次にが偶数の場合、
\begin{align}
I_{2n} &= -2 \frac{d}{dx} I_{2(n-1)} = \dots = \left(-2\frac{d}{dx}\right)^n I_0, \\
I_0 &= \sqrt{\frac{2\pi}{a}}, \\
\left(-2\frac{d}{dx}\right)^n a^{-1/2} &= \frac{(2n-1)!!}{(-2)^n}a^{-n-1/2}
\end{align}
を使えば、
\begin{align}
\langle x^{2n} \rangle= (2n-1)!! a^{-n}
\end{align}
が出る。
