3.2.3 シグマ模型の摂動論 p.39

テキスト：　弦とブレーン

(3.73):シグマ模型の作用をリーマン正規座標で表す

これは(3.69)の微分の部分に、
\begin{align}
\displaystyle \partial_a X^\mu = \partial_a (x_c^\mu+x_q^\mu) = \partial_a x_q^\mu = \partial_a v^\alpha \frac{\partial x_q^\mu}{\partial v^\alpha} 
\end{align}
を用い、(3.72)を使えば出る。

(3.75):ガウス積分の公式

まず、定義
 \begin{align} I_n　&\equiv \int_{-\infty}^\infty dx e^{-\frac{1}{2}ax^2}x^n \tag{3.74} \\  \langle x^n \rangle &\equiv I_n/I_0 \end{align}
 より、が奇の場合は被積分関数が奇関数であるから、。
次にが偶数の場合、
 \begin{align}
I_{2n} &= -2 \frac{d}{dx} I_{2(n-1)} = \dots = \left(-2\frac{d}{dx}\right)^n I_0, \\
I_0 &= \sqrt{\frac{2\pi}{a}}, \\
\left(-2\frac{d}{dx}\right)^n a^{-1/2} &= \frac{(2n-1)!!}{(-2)^n}a^{-n-1/2}
\end{align} 
を使えば、
\begin{align}
\langle x^{2n} \rangle= (2n-1)!! a^{-n}
\end{align}
が出る。