3.2.3 シグマ模型の摂動論 p.40

テキスト：　弦とブレーン

(3.78): 相関関数

相関関数の定義が書いていないが、
\begin{align}
\langle f(x) \rangle &\equiv \frac{\int d^n x e^{-S}f(x)}{\int d^n x e^{-S}} 
\end{align}
である。(3.78)は後で求める生成汎関数Z[J](3.80)を微分した後にJ=0とすれば出る。
\begin{align}
\langle x_i x_j \rangle &= \left[\frac{\partial }{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j} Z[J]\right]_{J=0} \\
&= D_{ij} \tag{3.79}
\end{align}

(3.80):相関関数の生成汎関数

これはxについて平方完成することで求まる。
\begin{align}
Z[J] &\equiv \frac{\int d^n x \exp\left(-\frac{1}{2}A_{ij}x_ix_j+x_i J_i\right)}{\int d^n x e^{-S}} \\
&= \frac{\int d^n x \exp\left(-\frac{1}{2}A_{ij}(x_i - D_{ik} J_k)(x_j - D_{jl} J_l)+\frac{1}{2}D_{ij} J_i J_k \right)}{\int d^n x e^{-S}} \\
&=\exp\left(\frac{1}{2}D_{ij} J_i J_j \right) \tag{3.80}
\end{align}